3.2 Derivades parcials

La derivada com a límit del quocient incremental i què vol dir derivar una funció de dues variables respecte d'una sola d'elles.

Derivada d’una funció d’una variable

Abans de derivar funcions de dues variables, entenem bé què és la derivada d’una funció d’una variable, $f(x)$ . La pregunta és: com de ràpid canvia $f$ quan canviem una mica $x$ ?

Quocient incremental

Som al punt $a$ i ens movem fins a $a + h$ . L’increment de la variable és $h$ , i la funció canvia $f(a + h) - f(a)$ . Si dividim l’un per l’altre, obtenim quant canvia la funció per cada unitat de $x$ , de mitjana:

\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \qquad \text{(quocient incremental)}

Geomètricament, és el pendent de la recta secant que passa pels punts $(a, f(a))$ i $(a + h, f(a + h))$ de la gràfica.

De la mitjana al canvi en un punt: el límit

El quocient incremental depèn de $h$ . Per saber com canvia $f$ just al punt $a$ , fem $h$ cada cop més petit. Amb $f(x) = x^2$ i $a = 2$ :

$h$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$	$-0{,}01$	$-0{,}1$
$\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$	$5$	$4{,}1$	$4{,}01$	$4{,}001$	$3{,}99$	$3{,}9$

Tant si $h$ és positiu (ens acostem per la dreta) com negatiu (per l’esquerra), el quocient s’acosta a $4$ . Diem que el límit quan $h$ tendeix a $0$ és $4$ , i ho escrivim $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 4$ .

Interactiu De la secant a la tangent

Funció f(x) = x² al punt a = 2. La recta secant passa per dos punts de la corba; el seu pendent és el quocient incremental. Fes h cada cop més petit, per la dreta o per l'esquerra.

Increment h

f(a + h) − f(a)

Pendent de la secant

Pendent de la tangent, f'(a)

Definició · Derivada en un punt

La derivada de $f$ en el punt $a$ és el límit del quocient incremental quan l’increment de la variable tendeix a $0$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

Les dues expressions són la mateixa: només canviem el nom de l’increment, $h = x - a$ .

Interpretació geomètrica: $f'(a)$ és el pendent de la recta tangent a la gràfica en el punt $(a, f(a))$ . Si $f'(a) > 0$ , la funció és creixent en aquell punt; si $f'(a) < 0$ , decreixent.

Exemple · f(x) = x², derivada en a = 2

Amb la definició

f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 2^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \,(4 + h) = 4

Hem simplificat la $h$ del denominador i, després, hem substituït $h = 0$ .

Amb la taula de derivades

$f'(x) = 2x \;\rightarrow\; f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$

Resultat

$f'(2) = 4$ , pels dos camins.

A la pràctica, les derivades es calculen amb la taula i les regles de derivació. La definició és la que ens diu què vol dir el número que obtenim.

Derivades parcials

Amb una variable, només ens podem acostar al punt $a$ de dues maneres: per la dreta o per l’esquerra. Al pla, en canvi, ens podem acostar al punt $(a, b)$ des de qualsevol direcció.

Les derivades parcials són les dues direccions més senzilles: moure només la $x$ (deixant la $y$ fixa) o moure només la $y$ (deixant la $x$ fixa). En fixar una variable, la funció torna a ser d’una sola variable, i ja sabem derivar-la.

Definició · Derivades parcials

Les derivades parcials de $f(x, y)$ en el punt $(a, b)$ són:

f'_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h}

f'_y(a, b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b + h) - f(a, b)}{h}

A $f'_x$ només s’incrementa la $x$ ; a $f'_y$ , només la $y$ .

Interpretació geomètrica: si fixem $y = b$ , el pla vertical $y = b$ talla la superfície $z = f(x, y)$ en una corba. $f'_x(a, b)$ és el pendent de la tangent a aquesta corba. El mateix per a $f'_y$ amb el pla $x = a$ .

Interactiu Què és una derivada parcial?

Superfície z = x² − xy². Per derivar respecte d'una variable, deixem l'altra fixa: el pla talla la superfície en una corba, que és una funció d'una sola variable. La derivada parcial és el pendent de la seva tangent.

Punt: a

Punt: b

Exemple · f(x, y) = x² − xy² en el punt (1, 1)

Primer, $f(1, 1) = 1^2 - 1 \cdot 1^2 = 0$ .

Respecte de x, amb la definició

Incrementem només la $x$ : $\;f(1 + h, 1) = (1 + h)^2 - (1 + h) \cdot 1^2 = 1 + 2h + h^2 - 1 - h = h + h^2$ .

f'_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h, 1) - f(1, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \,(1 + h) = 1

Respecte de y, amb la definició

Incrementem només la $y$ : $\;f(1, 1 + h) = 1^2 - 1 \cdot (1 + h)^2 = 1 - 1 - 2h - h^2 = -2h - h^2$ .

f'_y(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1, 1 + h) - f(1, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \,(-2 - h) = -2

Amb les regles de derivació

Per derivar respecte d’una variable, tractem l’altra com una constant:

Respecte de $x$ (la $y$ és constant): $\;f'_x(x, y) = 2x - y^2 \;\rightarrow\; f'_x(1, 1) = 2 - 1 = 1$ .
Respecte de $y$ (la $x$ és constant): $\;f'_y(x, y) = 0 - 2xy \;\rightarrow\; f'_y(1, 1) = -2$ .

Resultat

$f'_x(1, 1) = 1$ i $f'_y(1, 1) = -2$ . Al punt $(1, 1)$ , la funció creix si augmentem $x$ i decreix si augmentem $y$ .

Què ens diuen

$f'_x(a, b)$ diu, aproximadament, quant canvia $f$ per cada unitat que augmenta $x$ , si $y$ no es mou. És la pregunta que es fa un economista: què passa si canvio només un factor i deixo els altres igual?

Exemple · Producció Q(K, L) = √(KL) amb K = 4 i L = 9

Escrivim $Q = K^{1/2} L^{1/2}$ i derivem com a potències:

\frac{\partial Q}{\partial K} = \tfrac12 K^{-1/2} L^{1/2} = \frac{\sqrt L}{2\sqrt K} \qquad \frac{\partial Q}{\partial L} = \tfrac12 K^{1/2} L^{-1/2} = \frac{\sqrt K}{2\sqrt L}

\frac{\partial Q}{\partial K}(4, 9) = \frac{3}{2 \cdot 2} = 0{,}75 \qquad \frac{\partial Q}{\partial L}(4, 9) = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac13 \approx 0{,}33

Si l’empresa augmenta una mica el capital i manté el treball, la producció creix unes $0{,}75$ unitats per unitat de capital. Si, en canvi, augmenta el treball i manté el capital, creix unes $0{,}33$ per unitat de treball.

Amb més variables

La idea és la mateixa: hi ha una derivada parcial per cada variable, i en cada una es tracten totes les altres com a constants. Per exemple, amb $f(x, y, z) = x^2 y + 3z$ :

f'_x = 2xy \qquad f'_y = x^2 \qquad f'_z = 3