3.1 Concepte, domini i corbes de nivell

Què és una funció de diverses variables, on es pot calcular (domini), quins valors pren (imatge) i com la dibuixem en el pla amb les corbes de nivell.

Funció de diverses variables

Fins ara has treballat amb funcions d’una variable, com ara $f(x) = x^2$ : hi entra un nombre, $x$ , i en surt un altre nombre, $f(x)$ .

En economia, però, gairebé res no depèn d’una sola cosa. La producció d’una empresa depèn del capital $K$ (màquines, instal·lacions) i del treball $L$ (hores de feina). Una funció de producció habitual és

Q(K, L) = \sqrt{K L}

Hi entren dos nombres i en surt un. Per exemple, amb $K = 4$ i $L = 9$ es produeixen $Q(4, 9) = \sqrt{36} = 6$ unitats.

Definició · Funció escalar de n variables

Una funció real de $n$ variables assigna a cada punt $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ d’un conjunt $D \subseteq \mathbb R^n$ un únic nombre real:

f : D \subseteq \mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R, \qquad (x_1, \dots, x_n) \longmapsto f(x_1, \dots, x_n)

Se’n diu escalar perquè el resultat és un sol nombre (un escalar), no un vector.

Amb dues variables escriurem normalment $f(x, y)$ ; amb tres, $f(x, y, z)$ . Per exemple, si tres productes costen 2, 3 i 5 euros, el cost de comprar-ne $x$ , $y$ i $z$ unitats és $C(x, y, z) = 2x + 3y + 5z$ .

Domini

Definició · Domini

El domini de $f$ , $D(f)$ , és el conjunt de punts on la funció es pot calcular.

A Matemàtiques I, les operacions que poden donar problemes són sempre les mateixes:

Denominadors: no poden valer $0$ .
Arrels d’índex parell ( $\sqrt{\phantom{x}}$ , $\sqrt[4]{\phantom{x}}$ …): el radicand ha de ser $\geq 0$ .
Logaritmes: l’argument ha de ser $> 0$ .

Cada condició és una desigualtat (o una $\neq$ ) que parteix el pla. Per dibuixar-la:

Escrivim la condició com si fos una igualtat i la dibuixem: sortirà una recta, una paràbola, una hipèrbola o una circumferència.
Triem un punt de prova que no sigui sobre la corba, habitualment $(0,0)$ . Si compleix la desigualtat, ombregem la zona on és el punt; si no, l’altra.
Si hi ha diverses condicions, el domini és la zona comuna.

La vora es dibuixa contínua si hi pertany ( $\leq$ , $\geq$ ) i discontínua si no ( $<$ , $>$ , $\neq$ ).

Exemple · f(x, y) = √(x + y − 2)

El radicand ha de ser $\geq 0$ : $\;x + y - 2 \geq 0$ .

Igualtat: $x + y = 2$ és una recta, que passa per $(2, 0)$ i $(0, 2)$ . Hi pertany (és $\geq$ ): línia contínua.
Punt de prova $(0,0)$ : $\;0 + 0 - 2 \geq 0$ ? No, $-2 < 0$ . Ombregem la banda contrària a l’origen.

x + y − 2 ≥ 0 vora inclosa

Conjunt D

$D(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid x + y \geq 2\}$ : el semiplà per sobre de la recta, recta inclosa.

Exemple · f(x, y) = ln(4 − x² − y²)

L’argument del logaritme ha de ser $> 0$ : $\;4 - x^2 - y^2 > 0$ , és a dir, $x^2 + y^2 < 4$ .

Igualtat: $x^2 + y^2 = 4$ és la circumferència de centre $(0,0)$ i radi $2$ . No hi pertany (és $<$ ): línia discontínua.
Punt de prova $(0,0)$ : $\;0 < 4$ ? Sí. Ombregem la zona de l’origen, l’interior.

4 − x² − y² > 0 vora no inclosa

Conjunt D

$D(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid x^2 + y^2 < 4\}$ : l’interior del cercle, sense la circumferència.

Imatge

Definició · Imatge

La imatge (o recorregut) de $f$ , $\operatorname{Im}(f)$ , és el conjunt de valors que pren la funció quan $(x, y)$ recorre tot el domini.

El domini viu al pla (on posem els punts); la imatge viu a la recta real (els resultats).

Exemple · f(x, y) = x² + y²

Una suma de quadrats mai no és negativa, així que $f(x, y) \geq 0$ . A més, s’arriba a qualsevol valor $c \geq 0$ : per exemple, $f(\sqrt c, 0) = c$ . Per tant, $\operatorname{Im}(f) = [0, +\infty)$ .

Igualment, $Q(K, L) = \sqrt{KL}$ és una arrel i no pot donar resultats negatius: $\operatorname{Im}(Q) = [0, +\infty)$ .

Corbes de nivell

Un mapa topogràfic dibuixa una muntanya (una superfície) sobre un paper pla: uneix amb una línia tots els punts que són a la mateixa altura. Les corbes de nivell fan exactament això amb una funció $f(x, y)$ .

Definició · Corba de nivell

La corba de nivell $k$ de $f$ és el conjunt de punts del domini on la funció val exactament $k$ :

C_k = \{(x, y) \in D(f) \mid f(x, y) = k\}

Geomètricament, és el tall de la superfície $z = f(x, y)$ amb el pla horitzontal $z = k$ , vist des de dalt.

Interactiu Què és una corba de nivell?

La corba de nivell k de f(x, y) = x² + y² és el conjunt de punts del pla on la funció val exactament k. Geomètricament, és el tall de la superfície amb el pla horitzontal z = k. Mou k i gira el gràfic 3D.

Nivell k

Per identificar les corbes de nivell d’una funció:

Triem uns quants nivells concrets: $k = 1$ , $k = 2$ i, si té sentit, $k = -1$ (pot ser que n’hi hagi de negatius, o que no n’hi hagi cap).
Igualem $f(x, y) = k$ i aïllem, si cal.
Reconeixem la corba (recta, paràbola, hipèrbola o circumferència) i les dibuixem totes juntes.

Exemple · f(x, y) = y − x²

y - x^2 = k \;\rightarrow\; y = x^2 + k

\begin{aligned} k = -1:&\quad y = x^2 - 1 \\ k = 1:&\quad y = x^2 + 1 \\ k = 2:&\quad y = x^2 + 2 \end{aligned}

Són paràboles cap amunt, iguals entre si però desplaçades verticalment. Aquí sí que hi ha corbes de nivell negatives.

k = −1 k = 1 k = 2

En economia les corbes de nivell tenen nom propi: les de la funció de producció són les isoquantes (combinacions de capital i treball que donen la mateixa producció), i les d’una funció d’utilitat, les corbes d’indiferència.

Exemple · Isoquantes de Q(K, L) = √(KL)

\sqrt{KL} = k \;\rightarrow\; KL = k^2 \;\rightarrow\; L = \frac{k^2}{K}

\begin{aligned} k = -1:&\quad \text{cap punt (una arrel no és negativa)} \\ k = 1:&\quad KL = 1 \\ k = 2:&\quad KL = 4 \end{aligned}

Són hipèrboles. Com que $K, L \geq 0$ , només en dibuixem la branca del primer quadrant. Qualsevol punt de la isoquanta $k = 2$ , com $(1, 4)$ , $(2, 2)$ o $(4, 1)$ , produeix el mateix: 2 unitats. Si l’empresa té menys capital, ho ha de compensar amb més treball.

k = 1: KL = 1 k = 2: KL = 4