Espai vectorial i espai euclidià

Plantegem el sistema

$\vec u$ és combinació lineal dels tres vectors si existeixen $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ tals que

$$\lambda_1 (1, 1, 1) + \lambda_2 (1, a, 3) + \lambda_3 (a, 1, 1) = (2, 1, a)$$

És un sistema lineal amb incògnites $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. La matriu de coeficients té els vectors per columnes, i la columna de termes independents és $\vec u$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad A|b = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & a & 2 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & a \end{array}\right)$$

$\vec u$ serà combinació lineal si i només si el sistema és compatible, és a dir (Rouché–Frobenius), si $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b)$.

Determinant de A

$$|A| = (a + 1 + 3a) - (a^2 + 3 + 1) = -a^2 + 4a - 3$$$$-a^2 + 4a - 3 = 0 \;\rightarrow\; a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4\cdot(-1)\cdot(-3)}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2} \;\rightarrow\; a = 3 \;\text{ o }\; a = 1$$

Si a ≠ 1 i a ≠ 3

$|A| \neq 0$, per tant $\operatorname{rang}(A) = 3$. La matriu ampliada té 3 files, així que el seu rang no pot passar de 3: $\operatorname{rang}(A|b) = 3$.

$\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) = 3$: el sistema és compatible (determinat) i $\vec u$ és combinació lineal dels tres vectors.

Si a = 3

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(A) = 2$$

A la matriu ampliada, triem un menor d’ordre 3 amb la columna de termes independents:

$$A|b = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \end{array}\right) \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 16 - 12 = 4 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(A|b) = 3$$

$\operatorname{rang}(A) = 2 \neq 3 = \operatorname{rang}(A|b)$: el sistema és incompatible i $\vec u$ no és combinació lineal.

Si a = 1

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(A) = 2$$$$A|b = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right) \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 8 - 6 = 2 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(A|b) = 3$$

Tampoc no coincideixen els rangs: el sistema és incompatible i $\vec u$ no és combinació lineal.

Resum

$a$	$\operatorname{rang}(A)$	$\operatorname{rang}(A \vert b)$	Sistema	Combinació lineal?
$a \neq 1,\ 3$	$3$	$3$	Compatible	Sí
$a = 3$	$2$	$3$	Incompatible	No
$a = 1$	$2$	$3$	Incompatible	No

Són linealment independents si l’única solució de

$$\lambda_1 \vec u + \lambda_2 \vec v + \lambda_3 \vec w + \lambda_4 \vec t = \vec 0$$

és la trivial, $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$.

És un sistema homogeni de 3 equacions (una per component) i 4 incògnites. La matriu té 3 files, així que

$$\operatorname{rang}(\vec u, \vec v, \vec w, \vec t) \leq 3 < 4 = \text{nre. de vectors (incògnites)}$$

El sistema és compatible indeterminat: a més de la trivial, té infinites solucions.

Una base de $\mathbb R^3$ són 3 vectors linealment independents. Provem amb $\vec u, \vec v, \vec w$, posats per columnes:

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 3 + 2 = 5 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(\vec u, \vec v, \vec w) = 3$$

• $\operatorname{rang} = \text{nre. de vectors} = 3$, per tant són linealment independents.
• $\operatorname{rang} = \dim(\mathbb R^3) = 3$, per tant són un sistema de generadors de $\mathbb R^3$.

Dos vectors són ortogonals si el seu producte escalar és zero: $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$.

$$(-1, 3, k) \cdot (0, 2, -1) = 0 + 6 - k = 0 \;\rightarrow\; k = 6$$

Posem els vectors per columnes. Desenvolupant per la tercera fila:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad |A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \;\rightarrow\; \operatorname{rang}(A) = 3$$

$\operatorname{rang}(A) = \text{nre. de vectors} = 3$ (linealment independents) i $\operatorname{rang}(A) = \dim(\mathbb R^3) = 3$ (sistema de generadors).

Plantegem el sistema

Els components de $\vec v$ en aquesta base són els escalars $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ tals que

$$\lambda_1 (1, 1, 0) + \lambda_2 (0, 2, 0) + \lambda_3 (1, 0, 1) = (3, 1, 4)$$

Igualant component a component:

$$\left.\begin{aligned} \lambda_1 + \lambda_3 &= 3 \\ \lambda_1 + 2\lambda_2 &= 1 \\ \lambda_3 &= 4 \end{aligned}\right\}$$

Resolem

La tercera equació ja dona $\lambda_3 = 4$. Substituint a la primera: $\lambda_1 = 3 - \lambda_3 = 3 - 4 = -1$. I a la segona:

$$\lambda_2 = \frac{1 - \lambda_1}{2} = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Matriu associada

A la diagonal hi van els coeficients dels quadrats i, fora de la diagonal, la meitat dels coeficients dels termes creuats ($2xy \to 1$, $4xz \to 2$, $2yz \to 1$):

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & k \end{pmatrix}$$

Menors principals

$$MP_1 = \{4,\ 3,\ k\}$$$$MP_2 = \left\{ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} \right\} = \{11,\ 3k - 1,\ 4k - 4\}$$$$MP_3 = |A| = 11k - 12$$

Condició de definida positiva

Per tal que sigui definida positiva, tots els menors principals han de ser estrictament positius. Els que no depenen de $k$ ($4$, $3$ i $11$) ja ho són:

$$\begin{aligned} MP_1 > 0:&\quad k > 0 \\ MP_2 > 0:&\quad k > \tfrac13 \;\text{ i }\; k > 1 \\ MP_3 > 0:&\quad k > \tfrac{12}{11} \end{aligned}$$

Totes les condicions s’han de complir alhora. Com que $0 < \tfrac13 < 1 < \tfrac{12}{11} \approx 1{,}09$, la més exigent és $k > \tfrac{12}{11}$, i qui la compleix compleix també les altres.