Universitat de Barcelona Matemàtiques I Grup C1

Pràctica 2 de 6

Espai euclidià i formes quadràtiques

Producte escalar, norma, angle i distància entre vectors, bases ortogonals i ortonormals, i classificació de formes quadràtiques.

Tema 2 · Espai euclidià

Exercici 1

Si u⃗=(2,−1,−2,4)\vec u = (2,-1,-2,4) i v⃗=(1,3,−4,2)\vec v = (1,3,-4,2), es demana:

  1. Calculeu el producte escalar u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v.
  2. Calculeu la norma dels vectors u⃗\vec u i v⃗\vec v.
  3. Normalitzeu els vectors u⃗\vec u i v⃗\vec v.
Solució apartat (a)

El producte escalar és la suma dels productes component a component:

u⃗⋅v⃗=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−4)+4⋅2=2−3+8+8\vec u \cdot \vec v = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 3 + (-2)\cdot(-4) + 4\cdot 2 = 2 - 3 + 8 + 8
Resultat

u⃗⋅v⃗=15\vec u \cdot \vec v = 15

Solució apartat (b)

La norma és l’arrel quadrada del producte escalar del vector per ell mateix:

∥u⃗∥=+22+(−1)2+(−2)2+42=+25∥v⃗∥=+12+32+(−4)2+22=+30\|\vec u\| = +\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + 4^2} = +\sqrt{25} \qquad \|\vec v\| = +\sqrt{1^2 + 3^2 + (-4)^2 + 2^2} = +\sqrt{30}
Resultat

∥u⃗∥=5∥v⃗∥=30\|\vec u\| = 5 \qquad \|\vec v\| = \sqrt{30}

Solució apartat (c)

Normalitzar un vector és dividir-lo per la seva norma. Així s’obté un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit.

Resultat
u⃗∥u⃗∥=(25,−15,−25,45)v⃗∥v⃗∥=(130,330,−430,230)\frac{\vec u}{\|\vec u\|} = \left(\frac{2}{5}, \frac{-1}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{4}{5}\right) \qquad \frac{\vec v}{\|\vec v\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{30}}, \frac{3}{\sqrt{30}}, \frac{-4}{\sqrt{30}}, \frac{2}{\sqrt{30}}\right)

Exercici 2

Donats els vectors u⃗=(3,4,1)\vec u = (3,4,1) i v⃗=(−1,1,1)\vec v = (-1,1,1),

  1. Calculeu l’angle que formen els vectors u⃗\vec u i v⃗\vec v.
  2. Calculeu la distància entre u⃗\vec u i v⃗\vec v.
Solució apartat (a)

Fem servir la fórmula del cosinus de l’angle entre dos vectors:

cos⁡(α)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥=−3+4+132+42+12⋅(−1)2+12+12=226⋅3≈0,2265\cos(\alpha) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \frac{-3 + 4 + 1}{\sqrt{3^2+4^2+1^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{3}} \approx 0{,}2265

Aïllem l’angle amb l’arccosinus:

α=cos⁡−1(0,2265)\alpha = \cos^{-1}(0{,}2265)
Resultat

α≈76,91∘\alpha \approx 76{,}91^\circ

Solució apartat (b)

La distància entre dos vectors és la norma de la seva diferència:

d(u⃗,v⃗)=∥u⃗−v⃗∥=+(3−(−1))2+(4−1)2+(1−1)2=+16+9=+25d(\vec u, \vec v) = \|\vec u - \vec v\| = +\sqrt{(3-(-1))^2 + (4-1)^2 + (1-1)^2} = +\sqrt{16 + 9} = +\sqrt{25}
Resultat

d(u⃗,v⃗)=5d(\vec u, \vec v) = 5

Interactiu Angle i distància entre dos vectors

Arrossega les puntes dels vectors. A la pràctica els vectors són de ℝ³ o ℝ⁴, però les fórmules són exactament les mateixes i al pla es veuen. Fixa't que la distància és la longitud del vector u − v, el segment que uneix les dues puntes.

Vectors,
Producte escalar
Normes
cos α
Angle
Distància

Exercici 3

Donats els vectors u⃗=(0,1)\vec u = (0,1) i v⃗=(1,k)\vec v = (1,k), determineu el valor del paràmetre kk per a què l’angle entre els vectors u⃗\vec u i v⃗\vec v sigui de 60∘60^\circ.

💡 Pista

És la mateixa fórmula de l’exercici anterior, però ara coneixem l’angle i la incògnita és kk. Recorda que cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \tfrac{1}{2}.

Solució

Plantegem la fórmula del cosinus amb α=60∘\alpha = 60^\circ:

cos⁡(60∘)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥=0⋅1+1⋅k1⋅1+k2  ⟶  12=k1+k2\cos(60^\circ) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \frac{0\cdot 1 + 1\cdot k}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{1+k^2}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{2} = \frac{k}{\sqrt{1+k^2}}

Aïllem l’arrel i elevem al quadrat:

1+k2=2k  ⟶  1+k2=4k2  ⟶  3k2−1=0  ⟶  k=±13\sqrt{1+k^2} = 2k \;\longrightarrow\; 1 + k^2 = 4k^2 \;\longrightarrow\; 3k^2 - 1 = 0 \;\longrightarrow\; k = \pm\frac{1}{\sqrt 3}

Com que 1+k2=2k\sqrt{1+k^2} = 2k i una arrel és sempre positiva, cal que k>0k > 0. La solució negativa ha aparegut en elevar al quadrat i no és vàlida: amb k=−13k = -\tfrac{1}{\sqrt3} l’angle seria de 120∘120^\circ.

Resultat

k=13k = \dfrac{1}{\sqrt 3}

Interactiu Què fa el paràmetre k?

Mou k. El vector v = (1, k) sempre té la punta sobre la recta x = 1, així que l'únic que canvia és l'angle amb u = (0, 1). La línia discontínua marca la direcció que forma 60° amb u.

cos α
Angle

Exercici 4

Donats els vectors u⃗=(2,4,5,k)\vec u = (2,4,5,k), v⃗=(3,2,2,0)\vec v = (3,2,2,0) i w⃗=(k,−2,0,k)\vec w = (k,-2,0,k):

  1. Determineu el valor del paràmetre kk per a què u⃗\vec u i w⃗\vec w siguin ortogonals (perpendiculars).
  2. Calculeu el valor del paràmetre kk si volem que la distància entre els vectors v⃗\vec v i w⃗\vec w sigui 77.
Solució apartat (a)

Perquè siguin perpendiculars, el producte escalar ha de ser zero, u⃗⋅w⃗=0\vec u \cdot \vec w = 0:

(2,4,5,k)⋅(k,−2,0,k)=2k−8+0+k2=0  ⟶  k2+2k−8=0(2,4,5,k)\cdot(k,-2,0,k) = 2k - 8 + 0 + k^2 = 0 \;\longrightarrow\; k^2 + 2k - 8 = 0
Resultat

k=2ok=−4k = 2 \quad\text{o}\quad k = -4

Solució apartat (b)

Imposem d(v⃗,w⃗)=7d(\vec v, \vec w) = 7:

d(v⃗,w⃗)=+(3−k)2+42+22+(−k)2=7d(\vec v, \vec w) = +\sqrt{(3-k)^2 + 4^2 + 2^2 + (-k)^2} = 7

Elevem al quadrat i simplifiquem:

9−6k+k2+16+4+k2=49  ⟶  2k2−6k−20=0  ⟶  k2−3k−10=09 - 6k + k^2 + 16 + 4 + k^2 = 49 \;\longrightarrow\; 2k^2 - 6k - 20 = 0 \;\longrightarrow\; k^2 - 3k - 10 = 0
Resultat

k=5ok=−2k = 5 \quad\text{o}\quad k = -2

Exercici 5

Determineu la distància entre els vectors u⃗=(2,1,1)\vec u = (2,1,1) i v⃗=(1,2,2)\vec v = (1,2,2). Estudieu si hi ha algun vector de la forma w⃗=(x,2,2)\vec w = (x,2,2) tal que la distància d(v⃗,w⃗)d(\vec v, \vec w) sigui 44.

Solució apartat (a)
d(u⃗,v⃗)=∥u⃗−v⃗∥=+12+(−1)2+(−1)2d(\vec u, \vec v) = \|\vec u - \vec v\| = +\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}
Resultat

d(u⃗,v⃗)=3d(\vec u, \vec v) = \sqrt 3

Solució apartat (b)

Volem forçar que d(v⃗,w⃗)=4d(\vec v, \vec w) = 4. Com que v⃗\vec v i w⃗\vec w només difereixen en la primera component:

(1−x)2+0+0=4  ⟶  1−2x+x2=16  ⟶  x2−2x−15=0\sqrt{(1-x)^2 + 0 + 0} = 4 \;\longrightarrow\; 1 - 2x + x^2 = 16 \;\longrightarrow\; x^2 - 2x - 15 = 0
Resultat

Sí, n’hi ha dos: x=5x = 5 o x=−3x = -3, és a dir, w⃗=(5,2,2)\vec w = (5,2,2) i w⃗=(−3,2,2)\vec w = (-3,2,2).

Exercici 6

  1. Determineu els valors del paràmetre kk per als quals el vector w⃗\vec w és unitari en els casos següents: w⃗1=(7,k)\vec w_1 = (7,k) i w⃗2=(12,k)\vec w_2 = \left(\tfrac12, k\right).
  2. És possible que un vector sigui unitari si un dels seus components és més gran que 1?
Solució apartat (a)

Volem forçar que ∥w⃗1∥=1\|\vec w_1\| = 1:

∥w⃗1∥=+49+k2=1  ⟶  49+k2=1  ⟶  k2=−48\|\vec w_1\| = +\sqrt{49 + k^2} = 1 \;\longrightarrow\; 49 + k^2 = 1 \;\longrightarrow\; k^2 = -48

Cap nombre real al quadrat dona un resultat negatiu.

Volem forçar que ∥w⃗2∥=1\|\vec w_2\| = 1:

∥w⃗2∥=+14+k2=1  ⟶  14+k2=1  ⟶  k2=34\|\vec w_2\| = +\sqrt{\tfrac14 + k^2} = 1 \;\longrightarrow\; \tfrac14 + k^2 = 1 \;\longrightarrow\; k^2 = \tfrac34
Resultat

Per a w⃗1\vec w_1 no existeix cap k∈Rk \in \mathbb R. Per a w⃗2\vec w_2, k=±32k = \pm\dfrac{\sqrt3}{2}.

💡 Pista (b)

Si una component val, per exemple, 77, el seu quadrat ja és 4949. Pot ser que la suma de tots els quadrats valgui 11?

Solució apartat (b)

La norma al quadrat és la suma dels quadrats de les components, i cap d’aquests quadrats és negatiu. Si alguna component xix_i compleix ∣xi∣>1|x_i| > 1, aleshores

∥w⃗∥2=x12+⋯+xi2+⋯+xn2  ≥  xi2>1\|\vec w\|^2 = x_1^2 + \dots + x_i^2 + \dots + x_n^2 \;\geq\; x_i^2 > 1

És el que hem vist amb (7,k)(7,k): caldria fer l’arrel quadrada d’un valor negatiu.

Resultat

No. Si una component és més gran que 1 en valor absolut, el vector mai no pot ser unitari.

Interactiu On són els vectors unitaris?

Al pla, els vectors unitaris són exactament els que tenen la punta sobre la circumferència de radi 1. Un vector (a, k) amb la primera component fixada té la punta sobre la recta vertical x = a. Hi ha algun k que el faci unitari?

Condició
Valors de k

Exercici 7

Respecte al conjunt de vectors de R3\mathbb R^3

{(−1,0,1), (1,1,1), (1,3,1)},\{(-1,0,1),\ (1,1,1),\ (1,3,1)\},
  1. Verifiqueu que es tracta d’una base de R3\mathbb R^3.
  2. És un base ortogonal?
  3. És una base ortonormal?
Solució apartat (a)

Perquè formin una base de R3\mathbb R^3 han de ser linealment independents i, a més, formar un sistema de generadors de R3\mathbb R^3. Ho estudiem amb el rang de la matriu que té els vectors per columnes:

A=(−111013111)∣A∣=−1+3+0−(1−3+0)=4≠0  ⇒  rang⁡(A)=3A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad |A| = -1 + 3 + 0 - (1 - 3 + 0) = 4 \neq 0 \;\Rightarrow\; \operatorname{rang}(A) = 3
  • rang⁡(A)=nre. de vectors=3\operatorname{rang}(A) = \text{nre. de vectors} = 3, per tant són linealment independents.
  • rang⁡(A)=dim⁡(R3)=3\operatorname{rang}(A) = \dim(\mathbb R^3) = 3, per tant són un sistema de generadors.
Resultat

Sí, el conjunt de vectors forma una base de R3\mathbb R^3.

Solució apartat (b)

Perquè sigui una base ortogonal, els vectors han de ser perpendiculars dos a dos (tots amb tots):

u⃗⋅v⃗=(−1,0,1)⋅(1,1,1)=0→perpendicularsu⃗⋅w⃗=(−1,0,1)⋅(1,3,1)=0→perpendicularsv⃗⋅w⃗=(1,1,1)⋅(1,3,1)=5→no perpendiculars\begin{aligned} \vec u \cdot \vec v &= (-1,0,1)\cdot(1,1,1) = 0 &&\rightarrow \text{perpendiculars} \\ \vec u \cdot \vec w &= (-1,0,1)\cdot(1,3,1) = 0 &&\rightarrow \text{perpendiculars} \\ \vec v \cdot \vec w &= (1,1,1)\cdot(1,3,1) = 5 &&\rightarrow \text{no perpendiculars} \end{aligned}
Resultat

No formen una base ortogonal.

Solució apartat (c)

Una de les condicions per ser una base ortonormal és ser una base ortogonal, i a l’apartat anterior hem vist que no ho és. A més, els vectors tampoc no són unitaris: per exemple, ∥(−1,0,1)∥=2\|(-1,0,1)\| = \sqrt2.

Resultat

No és una base ortonormal.

Exercici 8

Si ff és una forma quadràtica de R3\mathbb R^3 que té per matriu A=(320232025)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix},

  1. Determineu l’expressió analítica de la forma quadràtica ff.
  2. Classifiqueu aquesta forma quadràtica.

Abans de començar amb les formes quadràtiques, val la pena veure què vol dir classificar-ne una. Amb dues variables es pot dibuixar:

Interactiu El signe d'una forma quadràtica, vist en 3D

Amb dues variables, la forma quadràtica f(x, y) = a x² + 2b xy + c y² és una superfície que sempre passa per l'origen. Classificar-la vol dir saber si queda per sobre del pla z = 0 (definida positiva), per sota (definida negativa), si el toca al llarg d'una recta (semidefinida) o si en té una part a cada costat (indefinida). Arrossega el gràfic per girar-lo.

f(x, y)
Matriu
Menors principals
Solució apartat (a)

Els elements de la diagonal són els coeficients dels quadrats. Cada element de fora de la diagonal apareix dues vegades a la matriu, per això el coeficient del terme creuat és el doble:

f(x,y,z)=3x2+3y2+5z2+2⋅2 xy+2⋅0 xz+2⋅2 yzf(x,y,z) = 3x^2 + 3y^2 + 5z^2 + 2\cdot 2\,xy + 2\cdot 0\,xz + 2\cdot 2\,yz
Resultat

f(x,y,z)=3x2+3y2+5z2+4xy+4yzf(x,y,z) = 3x^2 + 3y^2 + 5z^2 + 4xy + 4yz

Solució apartat (b)

Menors principals d'ordre 1

MP1={3, 3, 5}MP_1 = \{3,\ 3,\ 5\}

Menors principals d'ordre 2

MP2={∣3223∣, ∣3225∣, ∣3005∣}={5, 11, 15}MP_2 = \left\{ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} \right\} = \{5,\ 11,\ 15\}

Menor principal d'ordre 3

MP3=∣320232025∣=13MP_3 = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 13
Resultat

Tots els menors principals són positius: la forma quadràtica és definida positiva.

Exercici 9

Donada la forma quadràtica f(x,y,z)=−4x2−3y2−z2+4xy+4xz−2yzf(x,y,z) = -4x^2 - 3y^2 - z^2 + 4xy + 4xz - 2yz,

  1. Determineu la seva matriu associada.
  2. Estudieu el signe de la forma quadràtica.
Solució apartat (a)

A la diagonal hi van els coeficients dels quadrats. Fora de la diagonal hi va la meitat del coeficient de cada terme creuat: 4xy→24xy \to 2, 4xz→24xz \to 2 i −2yz→−1-2yz \to -1.

Resultat
A=(−4222−3−12−1−1)A = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}
Solució apartat (b)

Menors principals d'ordre 1

MP1={−4, −3, −1}MP_1 = \{-4,\ -3,\ -1\}

Menors principals d'ordre 2

MP2={∣−422−3∣, ∣−3−1−1−1∣, ∣−422−1∣}={8, 2, 0}MP_2 = \left\{ \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \right\} = \{8,\ 2,\ 0\}

Menor principal d'ordre 3

MP3=∣−4222−3−12−1−1∣=0MP_3 = \begin{vmatrix} -4 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0
Resultat

Els menors d’ordre senar són ≤0\leq 0, els d’ordre parell són ≥0\geq 0 i n’hi ha de nuls: la forma quadràtica és semidefinida negativa.

Exercici 10

Donada la forma quadràtica f(x,y,z)=3x2+2y2−z2+3xy−2yzf(x,y,z) = 3x^2 + 2y^2 - z^2 + 3xy - 2yz,

  1. Determineu el seu signe.
  2. Quin és el signe de la forma quadràtica restringida al subespai vectorial de R3\mathbb R^3 definit per S={(x,y,z)∈R3∣y−2z=0}S = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid y - 2z = 0\}?
💡 Pista (a)

Abans de calcular cap determinant, mira els signes de la diagonal.

Solució apartat (a)
A=(3320322−10−1−1)MP1={3, 2, −1}A = \begin{pmatrix} 3 & \tfrac32 & 0 \\ \tfrac32 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \qquad MP_1 = \{3,\ 2,\ -1\}

Hi ha menors d’ordre 1 de signes diferents (3>03 > 0 i −1<0-1 < 0). Per tant, ja podem dir que la forma no pot ser ni positiva ni negativa, i no cal calcular la resta de menors.

Resultat

La forma quadràtica és indefinida.

💡 Pista (b)

Aïlla una variable de l’equació del subespai i substitueix-la a ff. Obtindràs una forma quadràtica amb una variable menys.

Solució apartat (b)

De y−2z=0y - 2z = 0 obtenim y=2zy = 2z. Substituïm:

f(x,z)=3x2+2(2z)2−z2+3x (2z)−2(2z) z=3x2+3z2+6xzf(x,z) = 3x^2 + 2(2z)^2 - z^2 + 3x\,(2z) - 2(2z)\,z = 3x^2 + 3z^2 + 6xz
A′=(3333)MP1={3, 3}MP2=∣3333∣=0A' = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \qquad MP_1 = \{3,\ 3\} \qquad MP_2 = \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0
Resultat

La forma quadràtica restringida és semidefinida positiva.

Exercici 11

Sigui ff una forma quadràtica definida positiva. Si restringim ff a un determinat subespai vectorial, la forma quadràtica restringida pot ser semidefinida negativa?

💡 Pista

Què vol dir exactament que ff sigui definida positiva? Restringir-la vol dir avaluar-la només en alguns vectors.

Solució

Que sigui definida positiva vol dir que, si l’avaluem en qualsevol vector no nul del domini, el resultat és positiu: f(x⃗)>0f(\vec x) > 0 per a tot x⃗≠0⃗\vec x \neq \vec 0.

Restringir-la vol dir considerar només alguns vectors del domini. És com si féssim un «zoom» en una regió concreta. Aquests vectors continuen sent vectors del domini, així que ff hi continua sent positiva.

Resultat

No. Si la forma original és definida positiva, la restricció continua sent definida positiva, sigui quina sigui la restricció.

Exercici 12

Estudieu per a quins valors del paràmetre kk la forma quadràtica de R3\mathbb R^3 definida com f(x,y,z)=4x2+3y2+kz2+2xy+4xz+2yzf(x,y,z) = 4x^2 + 3y^2 + kz^2 + 2xy + 4xz + 2yz és definida positiva.

Solució

Matriu associada

A la diagonal hi van els coeficients dels quadrats i, fora de la diagonal, la meitat dels coeficients dels termes creuats (2xy→12xy \to 1, 4xz→24xz \to 2, 2yz→12yz \to 1):

A=(41213121k)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & k \end{pmatrix}

Menors principals

MP1={4, 3, k}MP_1 = \{4,\ 3,\ k\}MP2={∣4113∣, ∣311k∣, ∣422k∣}={11, 3k−1, 4k−4}MP_2 = \left\{ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix},\ \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} \right\} = \{11,\ 3k-1,\ 4k-4\}MP3=∣A∣=4 (3k−1)−1 (k−2)+2 (1−6)=11k−12MP_3 = |A| = 4\,(3k-1) - 1\,(k-2) + 2\,(1-6) = 11k - 12

Imposem la condició de definida positiva

Perquè una forma quadràtica sigui definida positiva, tots els menors principals han de ser estrictament positius. Els que no depenen de kk (44, 33 i 1111) ja ho són. Només cal forçar aquesta condició en els que depenen de kk:

MP1:k>0MP2:3k−1>0  →  k>13MP2:4k−4>0  →  k>1MP3:11k−12>0  →  k>1211\begin{aligned} MP_1:&\quad k > 0 \\ MP_2:&\quad 3k - 1 > 0 \;\rightarrow\; k > \tfrac13 \\ MP_2:&\quad 4k - 4 > 0 \;\rightarrow\; k > 1 \\ MP_3:&\quad 11k - 12 > 0 \;\rightarrow\; k > \tfrac{12}{11} \end{aligned}

Ajuntem les condicions

Les quatre condicions s’han de complir alhora: no n’hi ha prou que kk en compleixi una o dues. Per tant, busquem la intersecció dels quatre intervals, és a dir, els valors de kk que són a tots quatre.

Com que 0<13<1<1211≈1,090 < \tfrac13 < 1 < \tfrac{12}{11} \approx 1{,}09, la condició més exigent és k>1211k > \tfrac{12}{11}. Si kk la compleix, automàticament compleix les altres tres. En canvi, per exemple, k=1k = 1 compleix les dues primeres però no les dues últimes, i per tant amb k=1k = 1 la forma no és definida positiva.

Resultat

ff és definida positiva si i només si k>1211k > \dfrac{12}{11}.